用立德公式分析COVID-19的散播速度

林一平／椽經閣

十年前，我們發明了一個公式，今日也能用來了解COVID-19 (新冠肺炎)的散布。

研究電信系統效能評估的最基礎工具是耳朗公式(Erlang Formula)，此公式是由丹麥數學家耳朗 (Agner Krarup Erlang)所提出，應用於電話網路流量分析，以很簡單的形式表示為：E = λh。

這個公式敘述如下: 一個電話系統單位時間內的負載E (Offered Traffic)相當於這個單位時間內打電話進系統的次數λ (Call Arrival Rate)乘上平均的通話時間h (Call Holding Time)。耳朗公式在1961年被美國凱斯西儲大學(Case Western Reserve University)一位教授立德(John Dutton Conant Little)改寫成一個通用於一般系統的公式。立德早期以運籌學(Operations Research) 來研究交通燈號控制(Traffic Signal Control)。1961年他推導出立德公式(Little’s Formula)後名聲大噪，馬上被聘為麻省理工學院的教授。立德公式的形式和耳朗公式一樣簡單: L = λW

這個公式說，如果我們長時間觀察一個系統，會發現停留在此系統的人數L (average number of customers)等於人們進入此系統的速率λ (average effective arrival rate) 乘上一個人待在這個系統的平均時間W (average time a customer spends in the system)。該公式的應用廣泛，尤其是在產品開發(Product Development)。立德公式甚至可用於日常生活。例如說，在高速公路上你看到前面一個路段有一大堆車(L很大) ，而能進入該路段的車輛數目越來越少(λ很小)，那你就知道得開很長時間才能通過這個路段(W很大)。如果你了解立德公式，你就邊開車邊罵: 「Darn it! I was stuck in this stupid Little today! 」然後打電話給另一半：「Honey!! I got littled」。

2011年我和和交通大學資訊工程系的張明峰教授根據立德公式推導出一個行動電話的版本。圖二繪出一個簡略的行動電話系統，當中行動交換機連接基地台。圖中所畫虛線圓圈代表基地台發射的無線電波涵蓋範圍，稱為「細胞」。圖二中一部車子(內有手機)由「細胞1」進入「細胞2」。假設車內有人正在打電話，則穿越細胞時行動交換機會有紀錄。假設E為單位時間內在細胞2所有人講電話的分鐘數，而單位時間內講電話的人穿越細胞邊界而進入細胞2的人數是μ，則平均一部車子停留在細胞2的時間W可表示為E = μW

以上公式和立德公式或耳朗公式極為相似，但是證明可花了一些力氣呢。我們的公式用途相當廣泛，由量測車速到分析傳染病的散布，都用得上，發表於國際期刊。今日，我們也用此公式來了解COVID-19的散布。

簡而言之，我們的公式能直接並即時算出人們(無論他們是否開車)待在一個細胞的時間W，而不會侵犯其隱私權。再經由手機換手(handover)到周圍細胞的數目算出其移動到下一個細胞的機率。利用此機率，可經由馬可夫模型(Markov Model)算出，由一個細胞到達遠端細胞的路徑，亦即沿途經過的細胞的機率。然後最關鍵的是，算出待在這些細胞的時間W。如此，我們便可回答，如果疫情嫌疑人發現在新竹，則病毒在六小時後傳到台北的機率為何。