卜瓦松：計數型AI分析的萬靈丹

人工智慧和機器學習中使用到卜瓦松分布（Poisson Distribution）。在貝葉斯推論（Bayesian inference），機率分布經常被用來解決原本難以處理的問題。其中一個具體的應用是卜瓦松迴歸，這是一種專門用於建模計數數據的迴歸分析方法。例如，卜瓦松迴歸可用於估算與搭乘飛機相關的感冒次數，或預測某個事件期間的緊急服務呼叫次數。

卜瓦松迴歸是一種廣義線性模型，其使用對數作為（典型）連結函數，並假設反應變數遵循卜瓦松分布作為其機率分布函數。卜瓦松分布提供簡單而有效的數學框架，使得計數型AI分析變得更加精準和可解釋。這個分布以發明者卜瓦松（Siméon Denis Poisson, 1781～1840）命名。我2015年參訪巴黎的法蘭西科學院（Académie des Sciences） 時，意外地看到卜瓦松的手稿。

卜瓦松出生於法國的皮蒂維耶，自幼展現出非凡的數學才能，迅速成為19世紀最具影響力的數學家之一。他在機率論和解析力學方面做出突破性貢獻，在數學和物理學界留下深遠影響。他的卓越才能、謙遜和對知識的奉獻繼續激勵著數學家和科學家，改變我們對機率、數理物理和解析力學的理解。

1838年，他發表卜瓦松分布，這是一種適合描述單位時間內隨機事件發生次數的機率分布。起初，卜瓦松分布並未有很多實際應用。波特凱維茨（Ladislaus Bortkiewicz, 1868～1931） 利用卜瓦松分布公式計算在20年的期間裡，每年普魯士軍隊每14名騎兵中被馬踢死的人數。這是一個有趣的例子，但並非日常生活中適切的應用。

後來，科學家發現卜瓦松分布可以廣泛用於描述隨機離散事件的發生，在物理學、生物學和金融學等領域證明其實用性。例如，在分析電話網路的效能時，卜瓦松分布如同萬靈丹。我在處理單位時間的通話次數時，總是先套用卜瓦松分布，事後驗證，結果總是正確無誤。

1798年，卜瓦松以第一名成績考進巴黎綜合理工學院，追隨老師拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace） 的足跡，兩人情同父子。卜瓦松和拉普拉斯合作促成開創性的研究論文和各自領域的進一步發展。卜瓦松往往能將拉普拉斯的研究成果加以擴展。例如，我在進行電話系統效能評估時，常會用到拉普拉斯方程式及卜瓦松方程式。

拉普拉斯方程式沒有源項（source term），這意味著它是齊次的（homogeneous）。卜瓦松方程式有源項，這意味著拉普拉斯算子（Laplacian） 應用於一個標量值函數（scalar valued function） 時不一定為零。卜瓦松方程式本質上是拉普拉斯方程式的一種廣義形式。

儘管擁有巨大的才華和成就，卜瓦松以其謙遜、低調和對工作的奉獻著稱。他保持謙遜，專注於知識的追求。卜瓦松的遺產超越他的數學和科學成就，對學習的熱情和對知識追求的奉獻激勵著全世界有志於數學和科學的人。
 

人生只有兩樣美好的事情：發現數學和教數學。—卜瓦松

卜瓦松（Siméon Denis Poisson, 1781～1840）。